行列式

行列式就是Rn空间中单位立方体在该方阵表示的线性变换后的有向体积。

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简单说，行列式只是一种判别标准，determinant，告诉你一个矩阵一些性质。

首先告诉你矩阵信息量。如果系数行列式为0，要不然至少一行或者一列是废话(解不唯一)，要不然方程组是自相矛盾(解为空集)。

再一般点说，行列式的符号，绝对值等等，也能反应一些矩阵对应的向量组的性质。比如体积。也可以把矩阵当做线性变化看，看把之前单位体积变成多大了。

就像你用有没有“两个角相等”判断一个三角形是不是等腰一样。行列式可以判断出一个矩阵的很多信息。

作者：落叶松 链接：https://www.zhihu.com/question/31698184/answer/120693596 来源：知乎 －－－－－－－－－－

简单而言， 矩阵就是（给定了某个坐标系下），对向量施加一个线性变换。低维度的线性变换的例子有：旋转变换或者伸缩变换等。高维度的空间里的线性变换则可以分解到各个子空间。

而行列式基本上可以刻画了矩阵对向量的长度的影响。比如正交阵对应的正交变换，行列式是1，就不会改变向量长度吧。

作者：杨子辰 链接：https://www.zhihu.com/question/31698184/answer/55519902 来源：知乎

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作者：钱小钱 链接：https://www.zhihu.com/question/31698184/answer/115831899 来源：知乎 著作权归作者所有，转载请联系作者获得授权。

这是我大学时候的困惑，老师给我的解答 问：行列式的一个性质说，交换行列式两行位置，行列式的值要乘一个(－1)；但是矩阵的初等变换第三条说：可互换两行位。 那么…初等变换是针对矩阵的吧？ 解释一下行列式、矩阵、初等变换三者之间的联系

答：这个问题，它牵涉着矩阵（甚至数学）最本质的解释。 我先初略给你说明一下： （我解释的顺序是按这三个概念在数学工作者思维的产生的先后顺序） 一、最先解释的当然是矩阵，通常所指的矩阵实际就是一个二维数表。它诞生的目的之一是为解线性方程组（当然在数学中的作用不止这个） 而数学工作者在研究它（矩阵）如何方便于解方程组的过程中，想到了提出一种合理的变换---初等变换。 二、矩阵的初等变换。下面我来解释一下为什么说这种变换合理：因为初等变换的本质就是等式的基本性质。按照合理性来说，初等行变换是最具代表性的： 1.某行乘以非零数的那个变换体现了‘等式两边可以同时乘以非零数而不改变的等式性质’的本质思想。 2.某行乘以非零数加到另一行的那个变换体现了‘等式两边可以同时乘以非零数而不改变的等式性质’以及‘一个等式两边可以分别加到另一等式两边’的等式性质 3.某两行可以相互交换当然合理，因为交换后的方程组与原来依然同解。 初等列变换在某种意义上来说，意义不大，因为他不过是改变了需要求解的方程未知数的解出顺序。 三、最后再浅谈行列式，它是专门为一类特殊方程组的求解服务的，这种特殊的方程组是由含有n个未知数的n个方程组成。例如：行列式最终得出的克拉默法则等等。。。

虽然我的解释比较初略，但是我还是希望你更多的站在创造这些数学概念的人的角度想，他们是觉得这些数学概念有用，并且可以足够合理准确地服务于人类生活才引进的，不是凭空瞎想，你可以细心慢慢琢磨，执果索因，相信你一定会理解到更加本质的东西的。

还有数学是一个系统（但绝不封闭，因为会不断有新的抽象概念的引入），它只要足够合理我们就认定它是科学的，所以数学概念是相互关联，相互作用的，很少有绝对独立的数学概念。

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